工業簿記のCVP分析を学習していると、固変分解で登場する最小二乗法の公式に戸惑う方は少なくありません。Σy＝aΣx＋nb、Σxy＝aΣx²＋bΣxという式を暗記しても、何のために計算しているのか理解できなければ、時間が経つと忘れてしまいやすくなります。
最小二乗法は単なる計算テクニックではなく、過去のデータから「固定費」と「変動費」を合理的に推定するための方法です。この記事では、公式が何を意味しているのか、なぜこの式になるのかを具体例を使って解説します。
CVP分析で固変分解を行う理由
CVP分析とは、Cost（原価）、Volume（販売量）、Profit（利益）の関係を分析する方法です。利益計画を立てるためには、売上が変化したときに費用がどのように変動するかを知る必要があります。
費用には大きく分けて固定費と変動費があります。固定費とは生産量や販売量が変わっても一定程度発生する費用で、変動費とは生産量などに比例して増減する費用です。
しかし、実際の会社のデータでは、電気代や人件費などが完全に固定費・変動費に分かれているとは限りません。そのため、過去の実績データから固定費と変動費を推定する必要があります。
最小二乗法は費用の傾向を直線で表す方法
最小二乗法の考え方を簡単に説明すると、「実際のデータになるべく近い一本の線を引く方法」です。
CVP分析では、費用を次のような一次式で表します。
総費用（y）＝変動費率（a）×操業度（x）＋固定費（b）
この式では、aが1単位あたりの変動費、bが固定費を表します。つまり、過去の費用データから、このaとbを求めることが最小二乗法の目的です。
例えば、生産量が増えるほど材料費や作業時間に関する費用が増える場合、その関係をグラフにすると右肩上がりの線になります。その線の傾きが変動費率、縦軸との交点が固定費になります。
Σy＝aΣx＋nbという式が表していること
公式の意味を理解するには、まず基本式である「y＝ax＋b」を複数のデータに当てはめて考えます。
例えば、月ごとの生産量xと総費用yのデータがn個ある場合、それぞれについて以下の式が成立すると考えます。
y1＝ax1＋b
y2＝ax2＋b
y3＝ax3＋b
……
これらをすべて足し合わせると、
Σy＝aΣx＋nb
になります。
つまり、この式は「すべてのデータを合計した場合でも、費用の関係式が成り立つ」という意味です。n個のデータがあるため、固定費bはn回登場し、nbになります。
Σxy＝aΣx²＋bΣxが表していること
もう一つの公式である「Σxy＝aΣx²＋bΣx」は、単純な合計ではなく、データ同士の関係を利用した式です。
元の式y＝ax＋bの両辺にxを掛けると、
xy＝ax²＋bx
になります。そして、この式をすべてのデータについて合計すると、
Σxy＝aΣx²＋bΣx
になります。
この2つの式を連立方程式として解くことで、変動費率aと固定費bを求めることができます。
なぜ最小二乗法でなければならないのか
実際の企業データは、すべての点が一直線上に並ぶわけではありません。例えば、同じ生産量でも残業代や修繕費の影響で費用が少し変化することがあります。
そこで、すべてのデータと完全に一致する線ではなく、「データとの差が最も小さくなる線」を求めます。
最小二乗法では、実際の費用と予測した費用との差を二乗し、その合計が最小になるような直線を探します。二乗することで、プラスとマイナスの誤差が打ち消し合わないようにしています。
例えば、ある月の実際の費用が110万円、計算した費用が105万円なら差は5万円です。この差を小さくするように、全データを考慮して最も適した線を作ります。
公式を暗記するより考え方を理解することが重要
工業簿記の試験では最小二乗法の公式を使って計算する問題が出題されることがあります。しかし、公式だけを覚えると数字の意味が分からず、応用問題で迷いやすくなります。
大切なのは、「過去の費用データから固定費と変動費の割合を推定するための方法」という目的を理解することです。
公式は、費用を表す直線y＝ax＋bを複数のデータに当てはめ、その直線の傾きと切片を求めるために作られたものだと考えると理解しやすくなります。
まとめ
CVP分析における最小二乗法は、過去の費用データから固定費と変動費を分けるための方法です。
Σy＝aΣx＋nb、Σxy＝aΣx²＋bΣxという公式は、費用を表す基本式y＝ax＋bを複数のデータに適用して作られています。
単なる暗記ではなく、「たくさんの実績データから一番近い費用の線を探している」と考えることで、公式の意味を理解でき、忘れにくい知識になります。
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