最小自乗法は、データの回帰分析や近似に広く使用される統計的手法の一つです。これを使うことで、観測データから最も適切な線形モデルを見つけることができます。この記事では、最小自乗法の基本的な公式を使った簡単な具体例を紹介し、理解を深めていきます。
最小自乗法の基本的な公式
最小自乗法では、予測値と実際のデータとの差を最小化することが目標です。具体的には、誤差の二乗和を最小化することで、回帰直線を求めます。回帰直線の式は次のように表されます。
y = ax + b
ここで、aは傾き、bは切片です。最小自乗法では、与えられたデータに対してaとbを求めます。最小化すべき誤差の二乗和は、以下の式で表されます。
S(a, b) = Σ(y_i – (ax_i + b))^2
ここで、y_iは観測データの値、x_iは対応する入力値です。S(a, b)をaとbに関して最小化することで、最適な回帰直線が求められます。
具体例：簡単なデータでの計算
次に、簡単なデータを使って最小自乗法を適用してみましょう。以下のデータセットを考えます。
- x: 1, 2, 3, 4
- y: 2, 4, 5, 4
まず、最小自乗法に基づいて直線を求めるために、誤差の二乗和S(a, b)を計算し、aとbを求めます。この計算を行うと、最適な回帰直線の傾きaと切片bが得られます。
誤差の二乗和を最小化する計算方法
最小自乗法では、傾きaと切片bを次のように計算します。
- 傾きa = Σ((x_i – x̄)(y_i – ȳ)) / Σ(x_i – x̄)²
- 切片b = ȳ – a * x̄
ここで、x̄はxの平均、ȳはyの平均です。この計算を行うことで、回帰直線の式が得られ、データに最も合った直線を見つけることができます。
最小自乗法の応用
最小自乗法は、単なる回帰直線を求めるだけでなく、複雑なデータセットにも適用できます。例えば、複数の変数が関係する場合や、非線形な関係を扱う場合にも拡張できます。
また、最小自乗法は予測分析や機械学習の基礎となる手法でもあり、実際のデータ分析において非常に重要な役割を果たします。
まとめ
最小自乗法は、データから回帰直線を最適化するための有力な手法であり、簡単なデータを使って計算方法を学ぶことができます。基本的な公式を理解し、実際のデータに適用してみることで、最小自乗法の力を実感できるでしょう。実務でも非常に役立つ技術なので、しっかりと学んでおきましょう。
